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黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三12月月考数学(文)试卷 Word版含解析

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班级姓名准考证号考场号座位号

2019 届黑龙江省哈尔滨市第六中学

高三 12 月月考数学(文)试题
数学

注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题

1.已知集合

A.

B.

C.

2.(2015 新课标全国Ⅰ文科)已知点

A.

B.

C.

D.

,则 D.
,向量

,则向量

3.若双曲线

的一个焦点到一条渐*线的距离等于焦距的 ,则该双曲

线的渐*线方程是

A.

B.

C.

4.已知等差数列 的前 n 项和为 ,若

A.28 B.32 C.56 D.24

D. ,则 =

5.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于

A.

B.160 C.

D.60

6.过椭圆 的值是

的焦点垂直于 轴的弦长为 ,则双曲线

的离心率

A. B.

C. D.

7.如图①,这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋,是由公元 5 世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给 出的,螺旋由一系列直角三角形组成(图②),第一个三角形是边长为 的等腰直角三角形,以后每

个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边,另一个直角边为 .将这些直角三角形在公共顶点处

的角依次记为

则与

最接*的角是

参考值:







A.

B.

C.

D.

8.过圆

上一点 作圆

,则实数

A. B. 9.函数

C.

D.

的图象大致为

A.

B.

的两条切线,切点分别为 、 ,若

C.

D.

10.已知 F 为抛物线 的值等于

的焦点,过 F 且斜率为 的直线交抛物线于 A、B 两点,则

A.

B.8 C.

D.16

11.已知函数 个零点之和为

A.

B.

C.

若函数 D.

有 6 个不同的零点,则这 6

二、填空题 12.已知

,则

的值为___________.

13.若 、 满足约束条件

,则

的最大值为___________.

14.某比赛现场放着甲、乙、丙三个空盒,主持人从一副不含大小王的 52 张扑克牌中,每次任 取两张牌,将一张放入甲盒,若这张牌是红色的(红桃或方片),就将另一张放入乙盒;若这张牌 是黑色的(黑桃或梅花),就将另一张放入丙盒;重复上述过程,直到所有扑克牌都放入三个盒子 内,给出下列结论:
①乙盒中黑牌不多于丙盒中黑牌②乙盒中红牌与丙盒中黑牌一样多 ③乙盒中红牌不多于丙盒中红牌④乙盒中黑牌与丙盒中红牌一样多 其中正确结论的序号为___________.

三、解答题

15.在 中,角 , , 所对的边分别为 (1)求角 C 的大小;

,且满足

(2)若

,且

,求 的面积.

16.已知等差数列 的公差不为零,

,且

成等比数列.

(1)求 的通项公式;

(2)求

.

17.在三棱柱

中, 侧面

,已知



. .

(2)若点 为棱 中点,求 到*面

的距离.

18.已知函数



(1)求函数 在 处的切线方程;

(2)设

讨论函数

的零点个数.

19.在*面直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆

与圆

交于 两点.

(1)求直线 的斜率;

(2)过 点作 的垂线分别交两圆于点 ,求 .

20.已知函数

(1)求不等式

的解集

(2)设

,证明:

.

(1)求证:

*面 ;

2019 届黑龙江省哈尔滨市第六中学

高三 12 月月考数学(文)试题
数学答案

参考答案 1.C 【解析】
故选 C 2.A 【解析】试题分析: 考点:向量运算 3.C 【解析】 试题分析:因为双曲线

,又







, ,选 A.

的一个焦点到一条渐*线的距离为 所以

因此

因为双曲线

的渐*线方程为

所以该双

曲线的渐*线方程是

.

考点:双曲线的渐*线方程

4.A

【解析】

试题分析:

,故选 A.

考点:等差数列前 和公式.

5.A

【解析】

试题分析:由已知中的三视图,我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成,

三棱柱的底面是一个直角边长为为 的直角三角形,高为 ,四棱锥的底面是一个以 为边长的正

方形,高为 ,分别求出棱柱和棱锥的体积,其中直三棱的底面为左视图,高为

,故

,四棱锥的底面为边长为 的正方形,高为 ,故



故该几何体的体积

,故选 A.

考点:由三视图求体积. 【思路点晴】由已知中的三视图,我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成, 三棱柱的底面是一个直角边长为 的直角三角形,高 ,四棱锥的底面是一个以 为边长的正方形,

高为 ,分别求出棱柱和棱锥的体积



即可得出结论

.

6.D 【解析】

试题分析:设过焦点

的弦的端点分别为 ,令 ,则



,则

,故



,则





考点:1、双曲线的标准方程和简单几何性质;2、椭圆的标准方程和简单几何性质.

7.C

【解析】

【分析】

由题意利用直角三角形中的边角关系,可得



,再利用两角和的正切公式求得

的值,可得

的值.

【详解】

由题意可得,

都是锐角,且





,∴



,∴

.又

,故

接* ,故与

最接*的角是

,故选:C.

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式的应用,直角三角形中的边角关系,属于中档题.

8.A

【解析】

【分析】

根据题意画出图形,结合图形,不妨取圆

上一点 , ,过 作圆 :

> 的两条切线 、 ,求出

时 的值即可.

【详解】 如图所示,

取圆

上一点 , ,过 作圆 :

> 的两条切线 、 ,当

时,

,且





,则实数

.故选:A.

【点睛】

本题考查了直线与圆的方程应用问题,也考查了数形结合的应用问题,是基础题.

9.D

【解析】

【分析】

写出函数在( , )上的解析式,根据函数的性质,结合选项,即可得出答案.

【详解】



即 < 时,

,∴函数

在( , 上单调递增,排 A,B,C,故选:D. 【点睛】

本题考查函数的图象与性质,属于中档题;已知函数的解析式,判定函数图象的形状时,一般

通过解析式研究函数的定义域、单调性、值域、对称性、特殊值,再结合图象进行验证排除.

10.C

【解析】

【分析】

先设点 , 的坐标,求出直线方程后与抛物线方程联立消去 得到关于 的一元二次方程,求出

两根,再由抛物线的定义得到答案.

【详解】

抛物线

的焦点 , ,准线为

.设 , , , ,由

,可

得 , 【点睛】

,解得

, ,则

,由抛物线的定义可得 ,故选:C.

本题主要考查直线与抛物线的位置关系,注意抛物线定义的运用.一般情况下,抛物线焦半径

公式:设

为抛物线

上任意一点, 为焦点,则



上任意一点, 为焦点,则
11.B 【解析】 【分析】 先作出函数
,再方程 称,这 6 个解两两关于直线
【详解】 作出函数

.

的图象,令

,方程

转化为:

有 6 个不同的实数解,运用图象关于直线 对

对称,计算即可得到所求和.

的的图象,

可得图象关于直线 对称,∵函数

有 6 个不同的零点,即方程

有 6 个不同的实数解,可得这 6 个解两两关于直线 x=1 对称,可得它们的和

为 2×3=6.故选:B.

【点睛】

本题考查函数的零点个数问题的解法,注意运用函数的对称性,考查数形结合思想方法,属于

中档题.

12. .

【解析】

试题分析:





,所以

.

考点:1.分段函数;2.三角函数求值 13.1

【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的 坐标代入目标函数得答案. 【详解】

由约束条件

作出可行域如图,

`

化目标函数



,由图可知,当直线

距最小, 有最大值为 1.故答案为:1.

【点睛】

一般地,在解决简单线性规划问题时,如果目标函数

过 , 时,直线在 轴上的截

,首先,作直线

,并

将其在可行区域内进行*移;当 时,直线

在可行域内*移时截距越高,目标函数值越

大,截距越低,目标函数值越小;当 时,直线

在可行域内*移时截距越低,目标函数

值越大,截距越高,目标函数值越小. 14.② 【解析】 【分析】 取双红乙盒中得红牌,取双黑丙盒中得黑牌,取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中得不到红
牌丙盒中得不到黑牌,即可得出结论. 【详解】 由题意,取双红乙盒中得红牌,取双黑丙盒中得黑牌,取一红一黑时乙盒中得不到红牌丙盒中
得不到黑牌,故答案为②. 【点睛】 本题考查进行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

15.(1) ;(2)

【解析】 试题分析:

(1)利用题意结合余弦定理求得

,

(2)首先求得 试题解析: (1)由

,然后结合正弦定理和三角形面积公式可得
, ,

,

, (2)由
, , 根据正弦定理

, ,
,可得

,解得 ,

16.(1)

;(2)



【解析】

【分析】

(1)由题意可得

,根据等差数列的通项公式可得



进而求出

,由此即可求出结果;

(2)由题意可知,

,表示以 23 为首项,公差为-6 的等差数列的前 项和,

根据等差数列前 项和公式即可求出结果.

【详解】

(1)因为

成等比数列,所以



又数列 是公差不为零的等差数列,所以





,所以







(2)由题意可知,

数列 , , , , 是以 23 为首项,公差为-6 的等差数列,

所以

,表示以 23 为首项,公差为-6 的等差数列的前 项和,

所以

.

【点睛】 本题考查了主要考查了等差数列的通项公式、相关性质和前 项和公式的应用,考生数列掌握等 差数列的相关公式是解决本题的关键.

17.(1)证明见解析;(2) 。

【解析】

【分析】

(1)由 侧面

,可得

.在

中,由余弦定理得

可得

,由线面垂直的判定定理即可证明结果;

(2)由(1)可知

,在

股定理可得

,根据

中,

,在

,即可求出结果.

中,

【详解】

,由勾股定理 ,根据勾

(1)证明:∵ 侧面

,∴

.在

中,







由余弦定理得



故有



且,

∴ *面 .

(2)由(1)可知



中,

所以

所以

, *面

, ,

,在

中,

所以

又 设 到*面 又 所以

的距离为



,

所以

,所以 到*面

【点睛】

的距离为 .

本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用,以及等体积法在求点到面距离中的应用,本题属 于基础题.

18.(1)

l;(2) 当

时,有 个零点;当

时,有 个零点;当

时,

没有零点;所以

,零点 个;

,零点 个;

,零点 个.

【解析】

试题分析:(1)求函数 在 处的切线方程,应先求其导函数

,在

切线的斜率就是该点处的导函数值

,用直线方程的点斜式可得切线的方程;

处的

,因为 > ,所以考虑

函数 的零点个数就是考虑函数

解不等式



,得函数在

极小值 .根据函数

图像、直线

的零点个数问题,构造函数

,求导数



上单调递减,

上单调递增,求得其在 函数取得

及 的取值情况可得,当

时,有 个零点;当

时,

有 个零点;当

时,没有零点.

试题解析:(1) 所以函数 在

, 处的切线方程为

, ,即

(2)

,因为 > ,可得

. >,



,则

,函数在 上单调递减,

上单调递增,

所以 函数取得极小值 .

由函数

图像、直线 及 的取值情况可得,



时,有 个零点;当

时,有 个零点;当

时,没有零点.

所以

,零点 个;

,零点 个;

,零点 个.

【点睛】1、求函数在某点处的切线方程,利用导函数的几何意义求切线的斜率,利用直线方程 的点斜式求其切线方程;2、讨论函数的零点的个数问题,可利用函数的导函数求函数单调性和极值, 判断函数的图像与 轴的交点的个数问题。本题可将函数的解析式变形得

,因为 > ,所以将函数

的零点个数转化为函数

的零点问题,构造函数

,求其导函数得单调性和极值,根据

函数

的图像与直线 的关系可得所求结论。

19.(1)2 (2) 。

【解析】 【分析】 (1)由

,得

,化简即可得出 .

(2)设 的极角为 ,

,则



,把

代入

得 .把

代入

得 ,利用

【详解】

解:(1)由

,得









(2)设 的极角为 ,

,则



,则

,即可得出.

,代入





,代入









【点睛】

本题考查了极坐标方程的应用、斜率计算、弦长计算,考查了推理能力与计算能力,属于中档

题.

20.(1)



;(2)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,分别求交集,最后求并集(2)

利用分析法证明,先根据绝对值三角不等式将不等式转化为证明

,再两边*方,

因式分解转化为证明

,最后根据条件

确定



立.

试题解析:(1)∵

,∴

.



时,不等式可化为

,解得

,∴





,不等式可化为

,解得

,无解;



时,不等式可化为

综上所述, (2)∵ 要证 即证 由(1)知,



.

成立,只需证

,即证



,∵ 、

,解得 ,∴ .

, ,即证 ,∴


. ,



成立.

综上所述,对于任意的 、 都有

成立.

点睛:(1)分析法是证明不等式的重要方法,当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基

本不等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用分析法来寻找证明途径,使用分

析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.

(2)利用综合法证明不等式,关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.




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