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人教A版高中数学必修五解三角形.docx

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高中数学学*材料
鼎尚图文*整理制作

解三角形

一.选择题。 1.(06 全国 I) ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等
比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( )

A. 1 4

B. 3 4

C. 2 4

D. 2 3

2.(06 山东)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A= ? ,a= 3 ,b=1, 3

则 c=( )

(A)1

(B)2

(C) 3 —1

(D) 3

3.(07 重庆)在 △ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? (



A. 3 ? 3 B. 2

C. 2

D. 3 ? 3

4. ( 08 陕 西 ) △ABC 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c , 若

c ? 2, b ? 6, B ? 1 2,0 则 a 等于( )

A. 6 B.2

C. 3 D. 2

5.(08 福建)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB= 3ac ,

则角 B 的值为( )

A. ? 6

B. ? 3

C. ? 或 5? 66

D. ? 或 2? 33

6. (08 海南)如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值

为( )

A. 5/18 B. 3/4 C. 3 /2 D. 7/8
二.填空题。 7. ( 06 北 京 ) 在 ?ABC 中 , 若 s i nA : s i nB : sCi n?

5 : 7,:则8 ?B 的 大 小 是

____________. 8.(06 江苏)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 9.(07 北京)在 △ABC 中,若 tan A ? 1 , C ? 150 , BC ?1,则 AB ?
3 10.(07 湖南)在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ?1 ,

b= 7 , c ? 3 ,则 B ?



11.(07 湖南文)在 △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ?1,

c ? 3 , C ? π ,则 A ?



3

12.(07 重庆文)在△ABC 中,AB=1, BC=2, B=60°,则 AC=

13. (08 江苏)若 AB=2, AC= 2 BC ,则 S?ABC 的最大值



14. (08 湖北)在△ ABC 中,三个角 A, B,C 的对边边长分别为 a ? 3,b ? 4, c ? 6 ,

则 bccos A? cacos B ? abcosC 的值为

.

15. (08 浙江)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

? ? 3b ? c cosA ? a cosC ,则 cosA ? _________________。

三.解答题。

16.( 06 湖南)如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=? ,∠ABC= ? .

(1)证明 sin? ? cos 2? ? 0 ;

A

(2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值.

α

β

B



D

C

17(06 全国 I)?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时,cos A ? 2cos B ? C 2
取得最大值,并求出这个最大值。

18(07 宁夏,海南))如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一

水*面内的两个侧点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为? ,求塔高 AB .

19.(07 福建)在 △ABC 中, tan A ? 1 , tan B ? 3 .

4

5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

20(07 浙江)已知 △ABC 的周长为 2 ?1,且 sin A ? sin B ? 2 sin C .

(I)求边 AB 的长;

(II)若 △ABC 的面积为 1 sin C ,求角 C 的度数. 6

21.(07 山东)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处时, 乙船位于甲船的北偏西105? 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的 北偏西120? 方向的 B2 处,此时两船相距10 2 海里, 问乙船每小时航行多少海里?

22 ( 07 上 海 ) 在 △ABC 中 , a,b, c分 别 是 三 个 内 角 A,B,C 的 对 边 . 若

a ? 2, C ? π , cos B ? 2 5 ,求 △ABC 的面积 S .

4

25

23.(07 全国Ⅰ文)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a ? 2bsin A.

(Ⅰ)求 B 的大小;

(Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

24(07 全国Ⅱ)在 △ABC 中,已知内角 A ? ? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?
(1)求函数 y ? f (x) 的解析式和定义域; (2)求 y 的最大值.

25(07 广东) 已知△ ABC顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、C(c,0) .

(1)若 c ? 5,求 sin∠ A 的值;

(2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

26.(08 湖南)在一个特定时段内,以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒 水域.点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的 船只位于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40 2 海里的位置 B,经过 40 分钟又测得
该船已行驶到点 A 北偏东 45 + ? (其中 sin ? = 26 , 26

0 ? ? ? 90 )且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C.
(I)求该船的行驶速度(单位:海里/小时); (II)若该船不改变航行方向继续行驶.判断
它是否会进入警戒水域,并说明理由.

答案

10



1. B 2. B 3. A 4. D 5. D 6. D 7. ? 8. 4 6 9. 2 10. 6 11.

3

π

6 12. 3 13. 2 2 14. 61 15. 3

2

3

16. [解] (1).如图 3, ? ? ? ? (? ? 2? ) ? 2? ? ? ,?sin? ? sin(2? ? ? ) ? ? cos 2? ,

2

2

2

即 sin? ? cos 2? ? 0 .

(2).在 ?ABC 中,由正弦定理得

DC ? AC ,? DC ? 3DC .?sin ? ? 3 sin? sin? sin(? ? ? ) sin? sin ?

由(1)得 sin? ? ? cos 2? ,?sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3(1? 2sin2 ? ),

即 2 3 sin2 ? ? sin ? ? 3 ? 0.解得sin ? ? 3 或sin ? ? ? 3 .

2

3

0 ? ? ? ? ,?sin ? ? 3 ,? ? ? ? .

2

2

3

cos A ? 2cos B ? C ? cos A ? 2cos ? ? A ? cos A ? 2sin A ?1? 2sin2 A ? 2sin A

17. .解:

2

2

2

2

2

t ? sin A



2 (0? A?? )

则原问题等价于求 f ?t ? ? ?2t2 ? 2t ?1在 ( 0,1 ] 上的最大值

f

?t

?

?

?2

? ??

t

?

1 2

2
? ??

?1?

2?

? ??

1 2

2
? ??



t

?

1 4

时,即

A

?

? 3

时,

f

?t

?

取得最大值

3 2



18. 解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ?? ? ? .

由正弦定理得 BC ? CD . sin ?BDC sin ?CBD

所以 BC ? CD sin ?BDC ? s· sin ? . sin ?CBD sin(? ? ? )
在 △ABC 中 AB ? BC tan ?ACB ? s· tan? sin ? . sin(? ? ? )

19. 解:(Ⅰ) C ? π ? (A ? B) ,

1?3

?tan C

?

? tan(A ?

B)

?

?

4 1?

1

5 ?3

?

?1.又

45

0 ? C ? π ,?C ? 3 π . 4

(Ⅱ) C ? 3 ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4



tan

A

?

tan

B,A,B

?

? ??

0,? ?

? ??

,?



A

最小,

BC

边为最小边.



??tan ?

A

?

sin cos

A A

?

1 4




??sin2 A ? cos2 A ? 1,

A

?

? ??

0,π 2

? ??



得 sin A ? 17 .由 AB ? BC 得: BC ? AB sin A ? 2 .

17 sin C sin A

sin C

所以,最小边 BC ? 2 .

20. 解:(I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ?1,

BC ? AC ? 2AB , 两式相减,得 AB ?1.

(II)由 △ABC 的面积 1 BC AC sin C ? 1 sin C ,得 BC AC ? 1 ,

2

6

3

由余弦定理,得 cos C ? AC2 ? BC2 ? AB2 2AC BC

? ( AC ? BC)2 ? 2AC BC ? AB2 ? 1 ,

2AC BC

2

所以 C ? 60 .

21. 解:如图,连结 A1B2 , A2B2 ?10

2



A1 A2

?

20 60

? 30

2 ? 10

2,

?A1 A2B2 是等边三角形, ?B1A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,

在 ?A1B2B1 中,由余弦定理得

B1B22 ? A1B12 ? A1B22 ? 2A1B1 ? A1B2 cos 45? ? 202 ? (10 2)2 ? 2? 20?10 2 ? 2 ? 200 ,
2

B1B2 ?10 2.

因此乙船的速度的大小为 10 2 ? 60 ? 30 2. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

22. 解: 由题意,得 cos B ? 3, B 为锐角, sin B ? 4 ,

5

5

sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin?? 3π ? B ?? ? 7 2 , ? 4 ? 10

由正弦定理得 c ? 10 , ? S ? 1 ac sin B ? 1 ? 2? 10 ? 4 ? 8 .

7

2

2 757

23. 解:(Ⅰ)由 a ? 2bsin A,根据正弦定理得 sin A ? 2sin Bsin A ,所以 sin B ? 1 , 2

由 △ABC 为锐角三角形得 B ? π . 6

(Ⅱ)根据余弦定理,得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 .

所以, b ? 7 .

24. 解:(1) △ABC 的内角和 A ? B ? C ? ?,由 A ? ?,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? 2? .

?

?

应用正弦定理,知

AC

?

BC sin A

sin

B

?

2 sin

3 ?

sin

x

?

4 sin

x



?

AB

?

BC sin A

sin

C

?

4 sin

? ??

2? ?

?

x

? ??



因为 y ? AB ? BC ? AC ,

所以

y

?

4

sin

x

?

4

sin

? ??

2? ?

?

x

? ??

?

2

3

? ??

0

?

x

?

2? 3

? ??



? (2)因为 y ? 4??? sin x ?

? ?

cos

x

?

1 2

sin

x

? ???

?

2

3

?4

3

sin

? ??

x

?

? ?

? ??

?

2

3

? ??

? ?

?

x

?

? ?

?

5? ?

? ??



所以,当 x ? ? ? ? ,即 x ? ? 时, y 取得最大值 6 3 .

??

?

25. 解:(1) AB ? (?3, ?4) , AC ? (c ? 3, ?4) 当c=5时, AC ? (2, ?4)

cos?A ? cos ? AC, AB ?? ?6 ?16 ? 1 5?2 5 5

sin ?A ? 1? cos2 ?A ? 2 5

进而

5

(2)若A为钝角,则

25

AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0

解得c> 3

25

显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )

26. 解: (I)如图,AB=40 2 ,AC=10 13 ,

?BAC ? ? ,sin? ? 26 . 26

由于 0 ? ? ? 90 ,所以 cos? = 1 ? ( 26 )2 ? 5 26 .

26

26

由余弦定理得 BC= AB2 ? AC2 ? 2AB AC cos? ? 10 5.

所以船的行驶速度为 10 2

5

? 15

5 (海里/小时).

3

(II)解法一 如图所示,以 A 为原点建立*面直角坐标系, 设点 B、C 的坐标分别是 B(x1,y2), C(x1,y2), BC 与 x 轴的交点为 D.

由题设有,x1=y1= 2 AB=40, 2

x2=ACcos ?CAD ? 10 13 cos(45 ? ? ) ? 30 ,

y2=ACsin ?CAD ? 10 13 sin(45 ?? ) ? 20. 所以过点 B、C 的直线 l 的斜率 k= 20 ? 2 ,直线 l 的方程为 y=2x-40.
10 又点 E(0,-55)到直线 l 的距离 d= | 0 ? 55 ? 40 | ? 3 5 ? 7.
1? 4
所以船会进入警戒水域.

解法二: 如图所示,设直线 AE 与 BC 的延长线相交于点 Q. 在△ABC 中,由余弦定理得,
cos ?ABC ? AB2 ? BC2 ? AC2 2AB ? BC

= 402 ? 2 ? 102 ? 5 ? 102 ?13 = 3 10 .

2 ? 40 2 ?10 5

10

从而 sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?ABC ? 1 ? 9 ? 10 . 10 10
在 ?ABQ 中,由正弦定理得,

AQ=

AB sin ?ABC

40 2 ? 10

?

10 ? 40.

sin(45 ? ?ABC) 2 ? 2 10

2 10

由于 AE=55>40=AQ,所以点 Q 位于点 A 和点 E 之间,且 QE=AE-AQ=15.
过点 E 作 EP ? BC 于点 P,则 EP 为点 E 到直线 BC 的距离.

在 Rt ?QPE 中,PE=QE·sin ?PQE ? QE ?sin ?AQC ? QE ?sin(45 ? ?ABC)

=15 ? 5 ? 3 5 ? 7. 5
所以船会进入警戒水域.




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